Caratteristica di Eulero – Wikipedia

In matematica, e più precisamente in geometria e topologia, la caratteristica di Eulero è un numero intero invariante che descrive alcuni aspetti della forma di uno spazio topologico. Si denota comunemente con (lettera greca chi).

La caratteristica di Eulero fu formulata originariamente per i poliedri, e usata per dimostrare vari teoremi, inclusa la classificazione dei solidi platonici: Eulero partecipò attivamente a queste ricerche.

Nella matematica moderna, la caratteristica di Eulero, chiamata anche caratteristica di Eulero-Poincaré, è definita in un ambito più generale a partire da una omologia, introdotta dal matematico Henri Poincaré.

Definizione[modifica |modifica wikitesto]

La caratteristica di Eulero fu definita inizialmente per i poliedri, con la formula

dove V, S e F sono rispettivamente il numero di vertici, spigoli e facce del poliedro.

Relazione di Eulero[modifica |modifica wikitesto]

La relazione di Eulero asserisce che

per tutti i poliedri “senza buchi”, ovvero semplicemente connessi. I poliedri convessi rientrano in questa categoria.

Esempi di poliedri convessi[modifica |modifica wikitesto]

La formula di Eulero può essere usata per dimostrare che ci sono solo 5 solidi platonici:

Complessi di celle o simpliciali[modifica |modifica wikitesto]

Un poliedro è un esempio di complesso di celle, o di complesso simpliciale: questi sono particolari spazi topologici costruiti a partire da vertici, spigoli, facce 2-dimensionali, facce 3-dimensionali, ecc. Per questi spazi la caratteristica di Eulero è definita semplicemente come

dove è il numero di facce n-dimensionali (vertici e spigoli sono intesi come facce di dimensione 0 e 1).

Lo stesso spazio può essere descritto da molte decomposizioni in celle o simpliciali differenti, con valori variabili: il fatto notevole, che rende la caratteristica di Eulero importante in geometria, è che la quantità è però indipendente dalla decomposizione scelta.

Spazi topologici[modifica |modifica wikitesto]

Ancora più in generale, si può definire la caratteristica di Eulero-Poincaré di un qualsiasi spazio topologico con l’omologia: senza entrare nel dettaglio, si definisce come la dimensione dell’i-esimo gruppo di omologia, e quindi

Se lo spazio topologico non è troppo complicato, ciascun è effettivamente un numero (non è infinito), e è zero per ogni n sufficientemente grande.

La caratteristica di Eulero è un invariante topologico: due spazi topologici omeomorfi hanno la stessa caratteristica. Questo è un risultato molto forte, che implica in modo banale la formula di Eulero: i poliedri convessi sono infatti tutti omeomorfi alla sfera bidimensionale.

La caratteristica è anche invariante per equivalenza omotopica: due spazi omotopicamente equivalenti hanno la stessa caratteristica.

Se M e N sono spazi topologici disgiunti, abbiamo

Più in generale, se M e N sono sottospazi di uno spazio più grande che non si intersecano in modo troppo complicato, vale la relazione

La caratteristica di Eulero di un prodotto di spazi M × N è

Infine, grazie alla dualità di Poincaré, la caratteristica di una varietà differenziabile compatta di dimensione dispari è zero.

Spazi contrattili[modifica |modifica wikitesto]

Ogni spazio contrattile, cioè omotopicamente equivalente a un punto, ha la stessa caratteristica di Eulero del punto, che è 1 perché il punto ha 1 vertice e 0 facce di ogni dimensione maggiore. Quindi la retta, il piano, e ogni spazio euclideo ha caratteristica di Eulero 1.

Superfici[modifica |modifica wikitesto]

La caratteristica di Eulero di una superficie può essere calcolata agevolmente tramite una suddivisione in poligoni (cioè una descrizione come complesso di celle) e un conteggio del numero di vertici, spigoli e poligoni. La caratteristica di Eulero è l’invariante fondamentale nella classificazione delle superfici.

Nel caso in cui siano dati vertici e facce e la tassellazione sia regolare (tutte le facce contano lo stesso numero di spigoli), è possibile riscrivere la caratteristica di Eulero in modo più semplice senza contare gli spigoli.

dove è il numero di lati (diviso due, perché ogni spigolo è incidente su due facce).



Source link

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

Torna in alto