Trasformazione naturale – Wikipedia

In teoria delle categorie una trasformazione naturale è una freccia tra funtori “paralleli”.

che rende possibile definire la categoria di tutti i funtori

tra due categorie assegnate.

Siano

due funtori tra le categorie e .

Una trasformazione naturale è una collezione

di frecce di indicizzate dagli oggetti di e tale che il seguente diagramma commuta per ogni freccia di :

cioè   .

Siano date le trasformazioni naturali

ove sono funtori tra due categorie ,
mentre sono funtori tra due categorie .

Se ne può definire la composizione orizzontale

come quella trasformazione naturale le cui frecce, nella categoria , siano definite in uno dei due modi equivalenti:

,

.

infatti, applicando i funtori H,K al diagramma della trasformazione naturale tra F e G otteniamo:

Siano date le trasformazioni naturali

ove sono funtori tra due categorie .

Se ne può definire la composizione verticale

come quella trasformazione naturale le cui frecce, nella categoria , siano definite nel modo elementare:

Siamo ora pronti per definire la categoria dei funtori come quella categoria che ha per oggetti tutti i funtori , per frecce le trasformazioni naturali tra tali funtori e la composizione di frecce sia proprio la composizione verticale poc’anzi definita.

Esempio 1

Se è la categoria degli insiemi e
è la categoria duale di una categoria ( è ottenuta invertendo tutte le frecce di ), allora la categoria è la categoria dei prefasci su .

Esempio 2

Sia la categoria con due oggetti distinti e una sola freccia tra essi. Sia l’insieme ordinato dei numeri razionali visto come categoria ponendo i numeri come oggetti e le relazioni come frecce .

Si verifica che i funtori sono le sezioni di numeri razionali (con l’aggiunta dell’insieme vuoto e dell’intero ). Quindi abbiamo la formula notevole:

ove è l’insieme ordinato dei numeri reali con l’aggiunta di e .



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